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2016天津春季高考预科班数学公式大全(1)
【字体: 】   【时间:2015-5-13】  【作者:admin】  【关 闭】  【打 印
一、解不等式
1、小于零,取中间;大于零,取两边
例如:(x – 2)(x + 3) < 0      è – 3 < x < 2
例如:(x + 1)( x – 4) > 0 è x < – 1或x > 4
2、除法不等式:可以变成“乘法”不等式,前提:要把右侧变成0
       例如:> 1 => > 0 => < 0 =>(x – 1)(x – 3) < 0 =>1 < x < 3
3、绝对值不等式
       ① |x – 1| < 3 => – 3 < x – 1 < 3 => – 2 < x < 4                      “小于,取中间”
       ② |x – 2| > 1 => x – 2 < – 1或 x – 2 > 1 =>x < 1或x > 3      “大于,取两边”
4、不等式的解为R、或解为空集的问题
       一般情况下,利用判别式b2 – 4ac < 0 (或≤0)进行处理。
       例如:x2 – mx + 1 > 0的解为R,求m的取值范围_____
       △= b2 – 4ac = m2 – 4 < 0 = > – 2 < m < 2
二、一元二次方程求根公式
       ax2 + bx + c = 0,则求根公式:x1,2 =
       ①当= b2 – 4ac > 0时,有两个实根;
       ②当△= b2 – 4ac = 0时,有两个等根
       ③当△= b2 – 4ac < 0时,无实根
三、集合
1AB,表示求AB的公共元素。
       例如:A = { x | 1 < x < 5 },A = { x | 2 < x < 6 },则A∩B = {x | 2 < x < 5 }
2AB,表示将AB的元素全都合在一起,重复写一遍。
       例如:A = { x | 1 < x < 5 },A = { x | 2 < x < 6 },则A∪B = {x | 1 < x < 6 }
3CuA,表示在全集U中求A的补集。
       例如:U = {1,2,3,4,5,6},A = {2,4,5},则CuA = { 1,3,6 }
三、一元二次函数
1f(x) = ax2 + bx + c (a0)           对称轴x0 =
2x无范围时,f(x)的最大值或最小值,只需将x0代入f(x)可得最大值或最小值:
①a > 0,开口向上,f(x0)为最小值;②a < 0,开口向下,f(x0)为最大值
3、若x有范围,则画出f(x)的示意图,再将x的范围标上,找f(x)的最高和最低值即可
       例如:y = x2 – 4x + 5,x∈[ 1,4],求函数的最大值和最小值。
       示意图如右,对称轴为x = 2,标出x的范围,可以看出:
       ymin = f(2) = 1,ymax = f(4) = 5 
四、指数与指数函数
1、运算性质
       a0 = 1,am an = am+n,(am)n = amn,(ab)n = anbn
       
 
2、单调性
       f(x) = ax ( a > 0,a≠1)        当0 < a < 1时,f(x)为下降;当a > 1时,f(x)为上升;
       例如:解不等式:22x – 1 <
       不等式可以化为:22x – 1 < 2–2,因为a = 2为上升的,所以:2x – 1 < – 2,得x < – 1/2
五、对数与对数函数
1、运算性质
       ab = N < == > logaN = b,当a = 10时,logaN = lgN
       logaMN = logaM + logaN,loga= logaM - logaN,
       loga1 = 0,logaa = 1
2、实用性质:
logab == >当a、b同时大于1或同时小于1,则logab > 0
logab == >当a、b中一个小于1,另一个大于1,则logab < 0
例如:< 0;> 0等。
3、单调性
       f(x) = logax ( a > 0,a≠1)           当0 < a < 1时,f(x)为下降;当a > 1时,f(x)为上升;
六、常用函数
1、正比例函数:y = kx (k可正可负)
       例:正比例函数f(x)过点(2,6),求f(1)
       解:设y = kx,代入点(2,6),得6 = 2k,∴k = 3,∴y = 3x,所以y(1) = 3
2、反比例函数:y = (k可正可负),同法同上类似。
3、一次函数:y = kx + b
       也表示直线,其中k为斜率,当k > 0时,上升;当k < 0时,下降。
七、定义域求法
1、分母不为0
2、偶次根式内要大于等于0
3、对数内的式子要大于0
       例如:求y =定义域。根据上面法则得:,即可求出定义域。
八、奇函数与偶函数
1、偶函数:f( – x ) = f( x )
       ①偶函数的图像关于y轴对称;
       ②偶函数求参数问题,可以取x = 1进行求解参数。
       例如:已知f(x) = ( x – m )( x + 3 )为偶函数,求m
       解:可以取x = 1,利用f(– 1) = f(1)求m,f(–1) = 2(–1 – m) = – 2 – 2m,f(1) = 4(1 – m)
              由f(– 1) = f(1),可得m = 3
       ③常见的偶函数:y = x2y = cosxy = | x |
2、奇函数:f( – x ) = – f( x )
       ①奇函数的图像关于原点对称(即斜对称);
       ②若f(0)有意义,则f(0) = 0
       ③奇函数求参数问题:可利用f(0) = 0求解参数;若f(0) = 0求解失效,可取x = 1求解参数。
       例如:已知f(x) =为奇函数,求m
       解:取x = 0,利用f(0) = 0求m,f(0) = m – 2 = 0,可得m = 2
       ④常见的奇函数:y = xy =y = x3y = sinxy = tanx
九、向量
1、设向量a,则| a |表示向量a的模,即向量a的长度。
2、向量平行于垂直定理:
①若ab平行,则a = kb
       ②若ab,则ab = 0
3a2 = | a |2
4、向量夹角公式:,其中θ为两向量的夹角。
       说明:只要题目中牵涉到角的问题,则必须用上面的公式。
5、向量的坐标运算:设a = (x1y1)b = (x2y2)
       ① a±b = (x1±x2,y1±y2 )
       ② ab = x1x2 + y1y2
       ③ | a | =
       ④ 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则向量=(x2 – x1,y2 – y1)
       ④若a // b,则:x1y2 = x2y1,若ab,则:ab = x1x2 + y1y2 = 0
       例1:a = (m + 1,3),b = ( - 2m,8),若ab,求m。
       解:因为垂直,所以ab= 0,∴- 2m(m + 1) + 24 = 0,解得m = 3或m = - 4
十、数列
1、等差数列
       ①通项公式:an = a1 + (n – 1)d
       ②前n项和公式:Sn =,一般情况下,均利用第1个公式。
       ③等差中项:若a、b、c为等差数列,则a + c = 2b,b称为等差中项。
       说明:做等差题目,只需将题目中的有关数,全都更换为a1和d,即可求解。
2、等比数列
       ①通项公式:an = a1 qn - 1
       ②前n项和公式:Sn =,一般情况下,均利用第1个公式。
       ③等比中项:若a、b、c为等比数列,则ac = b2,b称为等比中项。
       说明:做等比题目,只需将题目中的有关数,全都更换为a1和q,再利用除法运算可求解。
十一、排列、组合
1、排列:= n(n – 1)(n – m + 1),即从n开始向下乘,共乘m个数。
2、组合:=,其中分子是从n开始向下乘,共乘m个数。
       说明:如果顺序变化,结果不相同,则为排列;若结果与顺序无关,则为组合。
3、常见排列:站队、排值日、组成3位数字、选课代表、选班长等。
4、常见组合:任取几个球、任取几个人、任取几件产品等均为组合。
5、排列组合的常见模型
       ①捆绑法:例如6个人站队,甲、乙需要相邻,有多少种站法?
可以将甲、乙捆绑为1人进行处理,相等于5人,共有种站法,其中甲、乙两人之间还可以排列,所以共种站法。
②插空法:例如5男3女站队,要求女生不相邻,求排法?
先排男生,产生6个空位,再从6个空位选择3个给女生,所以为
③骰子题目:只需列出36种可能,再按照题目要求进行排查即可。
④住房问题:例如:4人住3个不同房间,每个房间至少一人,共有多少种住法?
同一个房间的二人无顺序,因此,先要绑定二人,相当于3人,再安排到每个房间,所以共有住法
十二、概率、统计
1、概率
       ①排列组合算概率:概率p = 相关数 / 总数
       ②概率算概率:这类题目一般不需要排列。
例如:甲投篮命中率为0.9,乙命中率为0.8,两人各投一次,求至少一人命中的概率。
所求为:甲命中·乙未命中 + 甲未命中·乙命中 + 甲乙均命中
              = 0.9×0.2 + 0.1×0.8 + 0.9×0.8 = 0.98
处理这类题目,一定将过程弄清楚,过程清楚了,式子自然就出来了
③伯努力公式:
设单次试验发生的概率为p,则重复做n次试验,恰好发生k次的概率:
特点:连续试验,恰好发生k次。
例如:投篮命中率为0.9,现连续投篮3次,则恰好投中两次的概率是多少?
解:此题为伯努力题型,n = 3,k = 2,p = 0.9
       所以:p = = 0.243
3、概率分布
       例如:设随机变量ξ的分布列为:
ξ
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.3
       ①分布列的特点:所有概率之和为1
       ②均值或期望Eξ的计算公式:上下相乘,再加起来:1×0.2 + 2×0.2 + 3×0.3 + 4×0.3 = 2.7
       ③方差Dξ的计算公式:Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2
              其中E(ξ2) = 12×0.2 + 22×0.2 + 32×0.3 + 42×0.3 = 8.5
              即用ξ 的平方×对应的概率值,再求和即可。
              所以,对于本例,Dξ = E(ξ2) – [ E(ξ) ]2 = 8.5 – (2.7)2 = 0.71
       ④求P(2≤ξ≤3),只需将ξ = 2或ξ = 3的概率相加即可。P(2≤ξ≤3) = 0.2 + 0.3 = 0.5
3、分层抽样
       按比例计算即可。
4、频率直方图
       ①样本容量:所研究的元素的个数。例如从全校1000名学生中抽取50人进行测试,则50为样本容量。
       ②频率:相当于概率,或百分比
       ③频数:元素个数
例如:从全校1000名学生中取50(50即为容量,不是1000)人测试,测试结果如下:
分数范围
10-60分
60-90分
90分以上
人数
10
35
5
频率
0.2
0.7
0.1
其中各组人数即为频数。频率也是百分比,或概率。
④频率直方图
频率直方图左侧的y轴数据,是利用频率除以组距得到的,因此,若要利用左侧的数据计算频率(或百分比),就用“左侧的数×组距”即可。
注意:左侧的所有数之和×组距 = 1
 
 
 
 
 


 

十三、三角
1、特殊角的三角函数值
Α
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
sinα
0
1
0
- 1
cosα
1
0
-
-
-
-1
0
tanα
0
1
×
-
-1
-
0
×
2、任意角的三角函数:设角α终边上一点P(x,y),r =,则:
       sinα =               cosα =                     tanα =
3、各三角函数的正负情况:
       sinα:①②正,③④负;     cosα:①④正,②③负                     tanα:①③正,②④负
4、同角三角函数关闭
       sin2α + cos2α = 1          tanα =
5、诱导公式:纵变横不变,正负看象限
       纵变横不变:若角为纵角,如等,诱导时就需要变,sinα,cosα之间变。
                            若角为恒角如π等,则函数不需要变。
正负看象限:看原始函数所在象限的正负情况。
例1:sin(π + α),因为π为横角,所以不变仍为sinα,又因为π + α表示第三象限,正弦在第三象限为负的,因此,诱导结果为:sin(π + α) = - sinα
例2:cos(+ α),因为π/2为纵角,所以需要变为sinα,又因为π/2 + α表示第二象限,余弦在第二象限为负的,因此,诱导结果为:cos(+ α) = - sinα
6、加法公式
       ①sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ           sin(α – β) = sinα cosβ – cosα sinβ
       ②cos(α + β) = cosα cosβ – sinα sinβ          cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sinβ
       ③tan(α + β) =                  tan(α – β) =
7、二倍角公式
       ①sin2α = 2sinα cosα
       ②cos2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α = cos2α – sin2α
       ③tan2α =
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